与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の、$0 \le x \le 1$ の範囲における最大値または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の、$0 \le x \le 1$ の範囲における最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2 \\

&= 2(x-a)^2

\end{align*}

次に、軸 $x=a$ の位置によって場合分けをして考えます。

(1) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $x=0$ のとき最小値をとり、$x=1$ のとき最大値をとります。

最小値は $y = 2(0-a)^2 = 2a^2$

最大値は $y = 2(1-a)^2 = 2(1-2a+a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $x=a$ のとき最小値をとり、$x=0$ または $x=1$ のいずれかで最大値をとります。

最小値は $y = 2(a-a)^2 = 0$

$x=0$ のとき $y=2a^2$, $x=1$ のとき $y = 2(1-a)^2 = 2a^2 - 4a + 2$

$2a^2 - (2a^2 - 4a + 2) = 4a - 2 = 2(2a-1)$

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ のとき、$x=0$ で最大値 $2a^2$ をとる。

$\frac{1}{2} \le a \le 1$ のとき、$x=1$ で最大値 $2a^2 - 4a + 2$ をとる。

(3) $a > 1$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $x=1$ のとき最小値をとり、$x=0$ のとき最大値をとります。

最小値は $y = 2(1-a)^2 = 2(1-2a+a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

最大値は $y = 2(0-a)^2 = 2a^2$

3. 最終的な答え

場合分けによって答えが異なります。

(1) $a < 0$ のとき

最小値: $2a^2$

最大値: $2a^2 - 4a + 2$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき

最小値: $0$

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ のとき最大値: $2a^2$

$\frac{1}{2} \le a \le 1$ のとき最大値: $2a^2 - 4a + 2$

(3) $a > 1$ のとき

最小値: $2a^2 - 4a + 2$

最大値: $2a^2$