2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、(1) $f(-1)$ の値を求め、(2) $f(a+1)$ の値を求める。 また、放物線 $y = 2(x-3)^2 + 1$ のグラフについて、平行移動、軸、頂点、y軸との交点のy座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、(1) $f(-1)$ の値を求め、(2) $f(a+1)$ の値を求める。

また、放物線 $y = 2(x-3)^2 + 1$ のグラフについて、平行移動、軸、頂点、y軸との交点のy座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(-1)$ を求めるには、$f(x)$ の $x$ に $-1$ を代入する。

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1$

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$

(2) $f(a+1)$ を求めるには、$f(x)$ の $x$ に $a+1$ を代入する。

$f(a+1) = (a+1)^2 - 2(a+1) + 1$

$f(a+1) = a^2 + 2a + 1 - 2a - 2 + 1$

$f(a+1) = a^2$

放物線 $y = 2(x-3)^2 + 1$ について。

$y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$、 $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものである。

$x^2$ の係数が正なので、下に凸の放物線である。

軸は直線 $x = 3$ であり、頂点は点 $(3, 1)$ である。

$y$ 軸との交点の $y$ 座標を求めるには、$x = 0$ を代入する。

$y = 2(0-3)^2 + 1 = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19$

3. 最終的な答え

(1) $f(-1) = 4$

(2) $f(a+1) = a^2$

放物線 $y = 2(x-3)^2 + 1$ のグラフは、$y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した。

下に凸の放物線である。

その軸は直線 $x = 3$ であり、頂点は点 $(3, 1)$ である。

このグラフと $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $19$ である。