与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をxの2次式と見て整理します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = 2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

次に、$x$ に関する2次方程式の解の公式ではなく、因数分解できる形を考えます。定数項 $(-2y^2 + 5y - 3)$ を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1) = (3 - 2y)(y - 1)$

したがって、与えられた式は、 $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると予想されます。$2x^2$ の項があることから、$a$ と $d$ は $2x$ と $x$ (もしくはその逆)になると考えられます。$-2y^2$ の項があることから、$b$ と $e$ は $y$ と $-2y$ (もしくはその逆)になると考えられます。定数項は $(3-2y)(y-1)$ から、定数項の積が -3 であることから、 $c$ と $f$ は1と3、もしくは-1と3, 1と-3, -1と-3である可能性があります。

ここで、与えられた式を次のように因数分解できると仮定します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y + c)(x - 2y + f)$

この式を展開すると以下のようになります。

$(2x + y + c)(x - 2y + f) = 2x^2 - 4xy + 2fx + xy - 2y^2 + fy + cx - 2cy + cf$

$= 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2f + c)x + (f - 2c)y + cf$

元の式と比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$2f + c = 5$

$f - 2c = 5$

$cf = -3$

一つ目の式から $c = 5 - 2f$ を得て、これを二つ目の式に代入すると、 $f - 2(5 - 2f) = 5$ となり、$f - 10 + 4f = 5$ より、$5f = 15$ なので、$f = 3$ となります。

$c = 5 - 2f = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$

$cf = -1 * 3 = -3$ となり、3つ目の式も満たします。

したがって、$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$