複素数平面上の点 $A, B, C$ がそれぞれ $\alpha = c+i, \beta = 1, \gamma = 3i$ で表されるとき、以下の問題を解く。ただし、$c$ は実数である。 (1) 3点 $A, B, C$ が一直線上にあるように、$c$ の値を定めよ。 (2) 点 $A$ が線分 $BC$ を直径とする円上にあるように、$c$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $A, B, C$ がそれぞれ $\alpha = c+i, \beta = 1, \gamma = 3i$ で表されるとき、以下の問題を解く。ただし、$c$ は実数である。

(1) 3点 $A, B, C$ が一直線上にあるように、$c$ の値を定めよ。

(2) 点 $A$ が線分 $BC$ を直径とする円上にあるように、$c$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点 $A, B, C$ が一直線上にあるとき、$\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta}$ が実数となる。

$\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta} = \frac{3i - 1}{c+i-1} = \frac{3i-1}{(c-1)+i}$

$\frac{3i-1}{(c-1)+i} = \frac{(3i-1)((c-1)-i)}{((c-1)+i)((c-1)-i)} = \frac{3i(c-1)-3i^2 - (c-1) + i}{(c-1)^2 - i^2} = \frac{3i(c-1)+3 - (c-1) + i}{(c-1)^2+1} = \frac{-(c-4) + i(3c-2)}{(c-1)^2+1}$

この複素数が実数となるためには、虚部が0でなければならない。つまり、

$3c-2 = 0$

$c = \frac{2}{3}$

(2) 点 $A$ が線分 $BC$ を直径とする円上にあるとき、$\angle BAC = 90^\circ$ である。これは、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が純虚数となることを意味する。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{3i - (c+i)}{1-(c+i)} = \frac{-c + 2i}{(1-c) - i} = \frac{(-c+2i)((1-c)+i)}{((1-c)-i)((1-c)+i)} = \frac{-c(1-c)-ci+2i(1-c)+2i^2}{(1-c)^2 - i^2} = \frac{-c+c^2-ci+2i-2ci-2}{(1-c)^2+1} = \frac{c^2-c-2 + i(-3c+2)}{(1-c)^2+1}$

この複素数が純虚数となるためには、実部が0でなければならない。つまり、

$c^2 - c - 2 = 0$

$(c-2)(c+1) = 0$

$c=2, -1$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{2}{3}$

(2) $c = 2, -1$