与えられた対数の式 $\log_3 54 + \log_9 12 - \log_{3\sqrt{3}} 3 - \log_3 4$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_3 54 + \log_9 12 - \log_{3\sqrt{3}} 3 - \log_3 4$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、底を3に統一します。

$\log_3 54 = \log_3 (2 \cdot 3^3) = \log_3 2 + \log_3 3^3 = \log_3 2 + 3$

$\log_9 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (3 \cdot 4)}{\log_3 3^2} = \frac{\log_3 3 + \log_3 4}{2} = \frac{1 + \log_3 4}{2}$

$\log_{3\sqrt{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 3\sqrt{3}} = \frac{1}{\log_3 3 + \log_3 \sqrt{3}} = \frac{1}{1 + \log_3 3^{1/2}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

$\log_3 4 = \log_3 4$

よって、与式は

$\log_3 54 + \log_9 12 - \log_{3\sqrt{3}} 3 - \log_3 4 = (\log_3 2 + 3) + \frac{1 + \log_3 4}{2} - \frac{2}{3} - \log_3 4$

$= \log_3 2 + 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_3 4 - \frac{2}{3} - \log_3 4$

$= \log_3 2 + 3 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\log_3 4 - \log_3 4$

$= \log_3 2 + \frac{18+3-4}{6} - \frac{1}{2} \log_3 4$

$= \log_3 2 + \frac{17}{6} - \log_3 2$

$= \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{6}$