複素数 $\alpha = 1 - 2i$, $\beta = -i$, $\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})i$ が与えられたとき、$\angle \alpha \beta \gamma$ の値を $-\pi < \angle \alpha \beta \gamma \le \pi$ の範囲で求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 - 2i$, $\beta = -i$, $\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})i$ が与えられたとき、$\angle \alpha \beta \gamma$ の値を $-\pi < \angle \alpha \beta \gamma \le \pi$ の範囲で求める。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の偏角を求める。

$\alpha = 1 - 2i$ について、$\tan^{-1} \left( \frac{-2}{1} \right) = \tan^{-1}(-2)$。これは第4象限の角なので、$\arg(\alpha) = \tan^{-1}(-2)$。

$\beta = -i$ について、$\arg(\beta) = -\frac{\pi}{2}$。

$\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})i$ について、

$\tan^{-1} \left( \frac{-(2 - \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} \right)$ を計算する。

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{2 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{5 - 3\sqrt{3}}{-2} = \frac{3\sqrt{3} - 5}{2}$

となるので、

$\tan^{-1} \left( \frac{-(2 - \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5 - 3\sqrt{3}}{2} \right)$。

ここで、$\tan \frac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$となるので、

$\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) i = (1 + \sqrt{3}) (1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}i)$

また、$2 - \sqrt{3} = \tan{\frac{\pi}{12}}$なので、

$\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) i$の偏角は、

$\arg(\gamma) = \tan^{-1} \left( \frac{-(2 - \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} \right)$。

$\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$であり、$1 + \sqrt{3} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 2\sqrt{3} + 3} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.

$\tan(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan(\frac{\pi}{12}) + \tan(\frac{\pi}{4})}{1 - \tan(\frac{\pi}{12}) \tan(\frac{\pi}{4})} = \frac{2 - \sqrt{3} + 1}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(3 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3\sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$なので、$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3}$. つまり$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$

$\arg(\gamma) = \tan^{-1}(\frac{-(2 - \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}}) = - \tan^{-1} (\frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}) = - \tan^{-1} (\frac{(2 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}) = - \tan^{-1} (\frac{2 - 3\sqrt{3} + 3}{-2}) = - \tan^{-1}(\frac{5 - 3\sqrt{3}}{-2})$

$\alpha \beta \gamma$の偏角は、$\arg(\alpha \beta \gamma) = \arg(\alpha) + \arg(\beta) + \arg(\gamma) = \arg(\alpha) - \frac{\pi}{2} + \arg(\gamma)$.

$\arg(\alpha \beta \gamma) = \arg(\alpha) + \arg(\beta) + \arg(\gamma)$.

$\alpha \beta = (1 - 2i)(-i) = -i - 2$.

$\alpha \beta \gamma = (-2 - i) (1 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3})i) = -2 - 2\sqrt{3} + (4 - 2\sqrt{3})i - i - \sqrt{3}i - (2 - \sqrt{3}) = -2 - 2\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + (4 - 2\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3})i = -4 - \sqrt{3} + (3 - 3\sqrt{3})i$.

$\arg(\alpha \beta \gamma) = \tan^{-1} \left( \frac{3 - 3\sqrt{3}}{-4 - \sqrt{3}} \right)$.

$\alpha = 1 - 2i$, $\beta = -i$, $\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})i$より

$\arg(\alpha) = \arctan(-2) \approx -1.107$

$\arg(\beta) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.571$

$\arg(\gamma) = \arctan(\frac{\sqrt{3}-2}{1+\sqrt{3}}) = \arctan(\frac{(\sqrt{3}-2)(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}) = \arctan(\frac{\sqrt{3}-3-2+2\sqrt{3}}{-2}) = \arctan(\frac{3\sqrt{3}-5}{-2}) = \arctan(\frac{5-3\sqrt{3}}{2})$

$\arctan(\frac{5-3\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{12} \approx -0.262$

$\arg(\alpha\beta\gamma) = \arg(\alpha) + \arg(\beta) + \arg(\gamma) = \arctan(-2) - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} = \arctan(-2) - \frac{7\pi}{12} \approx -1.107 - 1.833 \approx -2.94$.

$-2.94 + 2\pi = 3.34$となり、範囲外になる。

$\gamma = (1 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) i$

$\arg(\gamma) = \arctan (\frac{-(2 - \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{12}$.

$\alpha \beta = (1 - 2i)(-i) = -i - 2 = -2 - i$

$\angle \alpha = \arctan(-2)$

$\angle \beta = -\frac{\pi}{2}$

$\angle \gamma = -\frac{\pi}{12}$

$\angle \alpha \beta \gamma = \arctan(-2) - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} = \arctan(-2) - \frac{7\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\arctan(-2) - \frac{7\pi}{12}$