次の式を簡単にせよ。 (1) $\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6$ (2) $(\log_4 9 - \log_{16} 3) (\log_9 16 - \log_3 8)$ (3) $16^{\log_2 3}$

代数学対数指数計算
2025/6/25

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。
(1) log332+log954log36\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6
(2) (log49log163)(log916log38)(\log_4 9 - \log_{16} 3) (\log_9 16 - \log_3 8)
(3) 16log2316^{\log_2 3}

2. 解き方の手順

(1)
log332+log954log36\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6 を計算する。
まず、32=25=25/2\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}なので、log332=log325/2=52log32\log_3 \sqrt{32} = \log_3 2^{5/2} = \frac{5}{2} \log_3 2
log954=log354log39=log3(233)2=log32+32=12log32+32\log_9 54 = \frac{\log_3 54}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3^3)}{2} = \frac{\log_3 2 + 3}{2} = \frac{1}{2} \log_3 2 + \frac{3}{2}
log36=log36log33=log3(23)1/2=2(log32+1)=2log32+2\log_{\sqrt{3}} 6 = \frac{\log_3 6}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3)}{1/2} = 2 (\log_3 2 + 1) = 2 \log_3 2 + 2
よって、
52log32+12log32+32(2log32+2)=(52+122)log32+322=(32)log3212=log3212=log32log33=log323=log3233\frac{5}{2} \log_3 2 + \frac{1}{2} \log_3 2 + \frac{3}{2} - (2 \log_3 2 + 2) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} - 2) \log_3 2 + \frac{3}{2} - 2 = (3-2) \log_3 2 - \frac{1}{2} = \log_3 2 - \frac{1}{2} = \log_3 2 - \log_3 \sqrt{3} = \log_3 \frac{2}{\sqrt{3}} = \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}
52log32+12log32+32(2log32+2)=log3212\frac{5}{2} \log_3 2 + \frac{1}{2} \log_3 2 + \frac{3}{2} - (2 \log_3 2 + 2) = \log_3 2 - \frac{1}{2}
log3212=log32log3312=log32log33=log323=log3233\log_3 2 - \frac{1}{2} = \log_3 2 - \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \log_3 2 - \log_3 \sqrt{3} = \log_3 \frac{2}{\sqrt{3}} = \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}
(2)
(log49log163)(log916log38)(\log_4 9 - \log_{16} 3) (\log_9 16 - \log_3 8) を計算する。
log49=log29log24=2log232=log23\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3
log163=log23log216=log234=14log23\log_{16} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 16} = \frac{\log_2 3}{4} = \frac{1}{4} \log_2 3
log916=log316log39=4log322=2log32\log_9 16 = \frac{\log_3 16}{\log_3 9} = \frac{4 \log_3 2}{2} = 2 \log_3 2
log38=3log32\log_3 8 = 3 \log_3 2
(log49log163)(log916log38)=(log2314log23)(2log323log32)=(34log23)(log32)=34log23log32=341=34(\log_4 9 - \log_{16} 3) (\log_9 16 - \log_3 8) = (\log_2 3 - \frac{1}{4} \log_2 3) (2 \log_3 2 - 3 \log_3 2) = (\frac{3}{4} \log_2 3) (- \log_3 2) = -\frac{3}{4} \log_2 3 \cdot \log_3 2 = -\frac{3}{4} \cdot 1 = -\frac{3}{4}
(3)
16log2316^{\log_2 3} を計算する。
16log23=(24)log23=24log23=2log234=34=8116^{\log_2 3} = (2^4)^{\log_2 3} = 2^{4 \log_2 3} = 2^{\log_2 3^4} = 3^4 = 81

3. 最終的な答え

(1) log3212\log_3 2 - \frac{1}{2}
(2) 34-\frac{3}{4}
(3) 8181

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