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$I = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$ と $x = \sin\theta + \cos\theta$ が与えられています。 (1) $I$ を $x$ の式で表す。 (2) $x$ の値の範囲を求める。 (3) $I$ の最大値と最小値を求める。

代数学三角関数最大最小二次関数関数の合成
2025/6/25

1. 問題の内容

I=3sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θI = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta と x=sin⁡θ+cos⁡θx = \sin\theta + \cos\theta が与えられています。
(1) II を xx の式で表す。
(2) xx の値の範囲を求める。
(3) II の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) II を xx の式で表す。
x=sin⁡θ+cos⁡θx = \sin\theta + \cos\theta の両辺を2乗すると、
x2=(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θx^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta
したがって、sin⁡θcos⁡θ=x2−12\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2-1}{2}
I=3sin⁡θcos⁡θ−(sin⁡θ+cos⁡θ)=3sin⁡θcos⁡θ−x=3(x2−12)−x=32x2−x−32I = 3\sin\theta\cos\theta - (\sin\theta + \cos\theta) = 3\sin\theta\cos\theta - x = 3(\frac{x^2-1}{2}) - x = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}
(2) xx の値の範囲を求める。
x=sin⁡θ+cos⁡θ=2(12sin⁡θ+12cos⁡θ)=2(cos⁡π4sin⁡θ+sin⁡π4cos⁡θ)=2sin⁡(θ+π4)x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{4}\cos\theta) = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})
−1≤sin⁡(θ+π4)≤1-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1 より、
−2≤x≤2-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}
(3) II の最大値と最小値を求める。
I=32x2−x−32=32(x2−23x)−32=32(x2−23x+19)−32−32(19)=32(x−13)2−32−16=32(x−13)2−106=32(x−13)2−53I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}(\frac{1}{9}) = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{10}{6} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{5}{3}
x=13x = \frac{1}{3} のとき、最小値 I=−53I = -\frac{5}{3} をとる。
x=−2x = -\sqrt{2} のとき、
I=32(−2−13)2−53=32(2+223+19)−53=3+2+16−53=3+2+16−106=3+2−96=3+2−32=32+2I = \frac{3}{2}(-\sqrt{2} - \frac{1}{3})^2 - \frac{5}{3} = \frac{3}{2}(2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}) - \frac{5}{3} = 3 + \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{5}{3} = 3 + \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{10}{6} = 3 + \sqrt{2} - \frac{9}{6} = 3 + \sqrt{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}
x=2x = \sqrt{2} のとき、
I=32(2−13)2−53=32(2−223+19)−53=3−2+16−53=3−2−96=3−2−32=32−2I = \frac{3}{2}(\sqrt{2} - \frac{1}{3})^2 - \frac{5}{3} = \frac{3}{2}(2 - \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}) - \frac{5}{3} = 3 - \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{5}{3} = 3 - \sqrt{2} - \frac{9}{6} = 3 - \sqrt{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{2}
したがって、II の最大値は 32+2\frac{3}{2} + \sqrt{2}、最小値は −53-\frac{5}{3} である。

3. 最終的な答え

I=32x2−x−32I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}
−2≤x≤2-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}
最大値: 32+2\frac{3}{2} + \sqrt{2}
最小値: −53-\frac{5}{3}

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