複素数 $\alpha = -2 + i$ と $\beta = 1 - 3i$ が与えられています。 (1) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求めます。 (2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $\delta$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = -2 + i$ と $\beta = 1 - 3i$ が与えられています。

(1) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求めます。

(2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $\delta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 複素数平面上の点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求める。

まず、$\beta$ を $\alpha$ を中心として回転させるために、$\beta - \alpha$ を計算する。

$\beta - \alpha = (1 - 3i) - (-2 + i) = 1 - 3i + 2 - i = 3 - 4i$

次に、$\frac{\pi}{2}$ だけ回転させるために、$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i$ を掛ける。

$(\beta - \alpha)e^{i\frac{\pi}{2}} = (3 - 4i)i = 3i - 4i^2 = 3i + 4 = 4 + 3i$

最後に、回転の中心である $\alpha$ を足し戻す。

$\gamma = \alpha + (\beta - \alpha)e^{i\frac{\pi}{2}} = -2 + i + 4 + 3i = 2 + 4i$

(2) 複素数平面上の点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $\delta$ を求める。

まず、$\beta - \alpha$ を計算する。（上記参照）

$\beta - \alpha = 3 - 4i$

次に、$\frac{\pi}{3}$ だけ回転させるために、$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛ける。

$(\beta - \alpha)e^{i\frac{\pi}{3}} = (3 - 4i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2} - i\frac{4}{2} - 4i^2\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2} - 2i + 2\sqrt{3} = (\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) + i(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 2)$

最後に、回転の中心である $\alpha$ を足し戻す。

$\delta = \alpha + (\beta - \alpha)e^{i\frac{\pi}{3}} = -2 + i + (\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) + i(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 2) = (-2 + \frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) + i(1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2) = (-\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}) + i(-1 + \frac{3\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\gamma = 2 + 4i$

(2) $\delta = (-\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}) + i(-1 + \frac{3\sqrt{3}}{2})$