与えられた不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を場合分けします。

場合分けは、$x$ が 0 より大きいか小さいか、$x$ が 2 より大きいか小さいかで行います。

(i) $x < 0$ のとき、

$|2x| = -2x$ であり、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

したがって、不等式は $-2x - x + 2 < 6$ となり、 $-3x < 4$、つまり $x > -\frac{4}{3}$ となります。

この場合、$-\frac{4}{3} < x < 0$ が解の範囲となります。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき、

$|2x| = 2x$ であり、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

したがって、不等式は $2x - x + 2 < 6$ となり、$x < 4$ となります。

この場合、$0 \le x < 2$ が解の範囲となります。

(iii) $x \ge 2$ のとき、

$|2x| = 2x$ であり、 $|x-2| = x-2$ となります。

したがって、不等式は $2x + x - 2 < 6$ となり、$3x < 8$、つまり $x < \frac{8}{3}$ となります。

この場合、$2 \le x < \frac{8}{3}$ が解の範囲となります。

以上より、解は $-\frac{4}{3} < x < 0$, $0 \le x < 2$ および $2 \le x < \frac{8}{3}$ を合わせた範囲となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$