$f(x) = 2^x$、$g(x) = \log_4 x$ のとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求め、それぞれア～ウの中から正しいものを選び、記号で答えよ。ア：$\sqrt{x}$、イ：$x$、ウ：$\frac{x}{2}$

1. 問題の内容

$f(x) = 2^x$、$g(x) = \log_4 x$ のとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求め、それぞれア～ウの中から正しいものを選び、記号で答えよ。ア：$\sqrt{x}$、イ：$x$、ウ：$\frac{x}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x)$ を計算する。

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2^x) = \log_4 (2^x)$

$\log_4 (2^x) = x \log_4 2 = x \log_4 (4^{1/2}) = x \cdot \frac{1}{2} \log_4 4 = \frac{x}{2}$

したがって、$(g \circ f)(x) = \frac{x}{2}$

次に、$(f \circ g)(x)$ を計算する。

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\log_4 x) = 2^{\log_4 x}$

$2^{\log_4 x} = 2^{\log_{2^2} x} = 2^{\frac{1}{2} \log_2 x} = (2^{\log_2 x})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

したがって、$(f \circ g)(x) = \sqrt{x}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x)$ の答え：ウ

$(f \circ g)(x)$ の答え：ア