与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{2}{n})^n$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{2}{n})^n$

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義に関連しています。

一般に、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ が成り立ちます。

この問題では、$x = 2$ なので、極限は $e^2$ になります。

まず、与えられた式に自然対数を取ります。

$y = (1 + \frac{2}{n})^n$

$\ln y = n \ln(1 + \frac{2}{n})$

ここで、$\lim_{n \to \infty} n \ln(1 + \frac{2}{n})$ を計算します。

$m = \frac{n}{2}$ と置くと、$n = 2m$ であり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

$\lim_{m \to \infty} 2m \ln(1 + \frac{1}{m}) = 2 \lim_{m \to \infty} m \ln(1 + \frac{1}{m})$

ここで、$\lim_{m \to \infty} m \ln(1 + \frac{1}{m}) = \lim_{m \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{1}{m})}{\frac{1}{m}}$ です。

$\frac{1}{m} = t$ と置くと、$m \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$

したがって、$\lim_{m \to \infty} 2m \ln(1 + \frac{1}{m}) = 2 \cdot 1 = 2$ となります。

$\lim_{n \to \infty} \ln y = 2$

$\lim_{n \to \infty} y = e^2$

3. 最終的な答え

$e^2$