座標平面において、直線 $y=4x+a$ と曲線 $y=x^3-6x^2+13x+2$ との共有点の個数を調べる問題です。

1. 問題の内容

座標平面において、直線 $y=4x+a$ と曲線 $y=x^3-6x^2+13x+2$ との共有点の個数を調べる問題です。

2. 解き方の手順

直線と曲線の共有点の個数は、連立方程式の解の個数に等しいです。したがって、

$4x+a = x^3-6x^2+13x+2$

を変形して、$a$ を分離します。

$a = x^3-6x^2+9x+2$

この式から、$y = x^3-6x^2+9x+2$ と $y = a$ のグラフの交点の個数を調べればよいことがわかります。

$f(x) = x^3-6x^2+9x+2$ とおくと、

$f'(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)$

したがって、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$ です。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(1) = 1-6+9+2 = 6$

$f(3) = 27-54+27+2 = 2$

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数は、$a$ の値によって変わります。

* $a < 2$ のとき、交点は1個

* $a = 2$ のとき、交点は2個

* $2 < a < 6$ のとき、交点は3個

* $a = 6$ のとき、交点は2個

* $a > 6$ のとき、交点は1個

3. 最終的な答え

共有点の個数は、

* $a < 2$ または $a > 6$ のとき 1個

* $a = 2$ または $a = 6$ のとき 2個

* $2 < a < 6$ のとき 3個