関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が与えられています。曲線 $y=f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3-3t)$ における接線を $l$ とします。ただし、$t \ge 0$ とします。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が与えられています。曲線 $y=f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3-3t)$ における接線を $l$ とします。ただし、$t \ge 0$ とします。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、直線 $l$ の方程式を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3$ より、$f'(t) = 3t^2 - 3$ です。したがって、点 $(t, t^3-3t)$ における接線 $l$ の方程式は、

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標は、

$x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

$x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0$

$x = t$ は解なので、$(x-t)$ を因数に持つ。組み立て除法を行うと、

```

t | 1 0 -3t^2 2t^3

| t t^2 -2t^3

--------------------

1 t -2t^2 0

```

したがって、$x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = (x-t)(x^2 + tx - 2t^2) = 0$

$(x-t)(x-t)(x+2t) = (x-t)^2(x+2t) = 0$

$x = t$ または $x = -2t$

$x = t$ は接点なので、接点以外の共有点の $x$ 座標は $x = -2t$ です。

このとき、$y = f(-2t) = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t$ です。

したがって、接点以外の共有点の座標は $(-2t, -8t^3 + 6t)$ です。

3. 最終的な答え

接点以外の共有点の座標は $(-2t, -8t^3+6t)$。