関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ の、$0 \le x < \pi$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ の、$0 \le x < \pi$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の倍角の公式を利用して式を整理します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

これらの公式を元の式に代入します。

$y = 3\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) - \sqrt{3} \frac{\sin 2x}{2} + 1$

$y = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + 1$

$y = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$

次に、$r\sin(2x+\alpha)$の形に変形します。

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \sin(2x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2\cdot 2}/\sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{3}{2}/\sqrt{3} = \frac{1}{2}$　となる$\alpha$を見つける。

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} \sin(2x + \alpha)$

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{\frac{12}{4}} \sin(2x + \alpha)$

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \sin(2x + \alpha)$

$\alpha$ は $\sin \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} / \sqrt{3} = -1/2$ を満たすので、$\alpha = \frac{2\pi}{3}$。

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$

$0 \le x < \pi$ より、$\frac{2\pi}{3} \le 2x + \frac{2\pi}{3} < 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$

$\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ の範囲は、$-1 \le \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 1$

最大値：$y_{max} = \frac{5}{2} + \sqrt{3}$ ($\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1$のとき。$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$より、$x = -\frac{\pi}{12}$だが、この範囲に存在するため、これは誤り。$2x + 2\pi/3 = 5\pi/2, x = 11\pi/12$）

最小値：$y_{min} = \frac{5}{2} - \sqrt{3}$ ($\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = -1$のとき。$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$より、$x = \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{5}{2} + \sqrt{3}$

最小値：$\frac{5}{2} - \sqrt{3}$