$0 \leq x < \pi$ の範囲において、関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \leq x < \pi$ の範囲において、関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形する。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ および $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ を用いると、

\begin{align*}

y &= 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1 \\

&= 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + 1 \\

&= \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + 1 \\

&= \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x

\end{align*}

ここで、$R\cos(2x + \alpha) = \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$ となる $R$ と $\alpha$ を求める。

$R = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

よって、

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} \sin 2x)$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を見つけると、$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

したがって、

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \cos (2x + \frac{\pi}{6})$

$0 \leq x < \pi$ より、$0 \leq 2x < 2\pi$ であり、$\frac{\pi}{6} \leq 2x + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13}{6}\pi$

$\cos(2x + \frac{\pi}{6})$ の最大値は1, 最小値は -1 となる。

$y$ の最大値は $\frac{5}{2} + \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{5}{2} + \sqrt{3}$

$y$ の最小値は $\frac{5}{2} + \sqrt{3} \cdot (-1) = \frac{5}{2} - \sqrt{3}$

最大値をとるのは $2x + \frac{\pi}{6} = 0$ のとき、つまり$2x = -\frac{\pi}{6}$. しかしこれは範囲外。

$2x + \frac{\pi}{6} = 2\pi$のとき、つまり、$2x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi$のとき、$x = \frac{11}{12}\pi$でこれは範囲内。よって$x = \frac{11}{12}\pi$のときに最小値。

$2x + \frac{\pi}{6} = 0$ のとき $2x=-\pi/6$なので範囲外。$2x + \frac{\pi}{6} = 2\pi$のとき $2x=11\pi/6$なので $x=11\pi/12$で範囲内。

$\frac{\pi}{6} \leq 2x + \frac{\pi}{6} < \frac{13}{6} \pi$ より、$\cos(2x + \frac{\pi}{6})$ の最大値は 1 で、最小値は -1である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{2} + \sqrt{3}$

最小値: $\frac{5}{2} - \sqrt{3}$