問題は、次の極限を計算することです。 (7) $\lim_{n \to \infty} \frac{-5n^2+6n+4}{3n^2}$ (8) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1}$ (9) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}+1}$ (11) $\lim_{n \to \infty} \frac{-10n^3-3n^2}{-5n^3+4n}$ (12) $\lim_{n \to \infty} \frac{-10n^4-3n^2}{-5n^3+4n}$ また、以下のxy平面内の図形の面積を求めること。 (1) $D_1 = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 10, 0 \leq y \leq x^2\}$ (2) $D_3 = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3x^2\}$ (3) $D_5 = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq N, 0 \leq y \leq ax^2\}$ ($a \geq 0$) 最後に、$r$を自然数とする。図形$D = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^r\}$の面積を、自然数の$r$乗和$\sum_{k=1}^{n} k^r$を含む極限値の式で表すこと。

1. 問題の内容

問題は、次の極限を計算することです。

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{-5n^2+6n+4}{3n^2}$

(8) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1}$

(9) $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}+1}$

(11) $\lim_{n \to \infty} \frac{-10n^3-3n^2}{-5n^3+4n}$

(12) $\lim_{n \to \infty} \frac{-10n^4-3n^2}{-5n^3+4n}$

また、以下のxy平面内の図形の面積を求めること。

(1) $D_1 = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 10, 0 \leq y \leq x^2\}$

(2) $D_3 = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3x^2\}$

(3) $D_5 = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq N, 0 \leq y \leq ax^2\}$ ($a \geq 0$)

最後に、$r$を自然数とする。図形$D = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^r\}$の面積を、自然数の$r$乗和$\sum_{k=1}^{n} k^r$を含む極限値の式で表すこと。

2. 解き方の手順

(7) 分母の最高次数$n^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-5n^2+6n+4}{3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{-5+\frac{6}{n}+\frac{4}{n^2}}{3} = \frac{-5+0+0}{3} = -\frac{5}{3}$

(8) 分母の最高次数$n^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}} = \frac{0}{1+0} = 0$

(9) 分母の最高次数$\sqrt{n}$で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{\infty}{1+0} = \infty$

(11) 分母の最高次数$n^3$で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-10n^3-3n^2}{-5n^3+4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-10-\frac{3}{n}}{-5+\frac{4}{n^2}} = \frac{-10-0}{-5+0} = 2$

(12) 分母の最高次数$n^3$で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-10n^4-3n^2}{-5n^3+4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-10n-\frac{3}{n}}{-5+\frac{4}{n^2}} = \frac{-\infty-0}{-5+0} = \infty$

(1) $D_1$の面積は、$\int_{0}^{10} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{10} = \frac{1000}{3}$

(2) $D_3$の面積は、$\int_{0}^{1} 3x^2 dx = \left[x^3\right]_0^{1} = 1$

(3) $D_5$の面積は、$\int_{0}^{N} ax^2 dx = a\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{N} = \frac{aN^3}{3}$

$D = \{(x, y) \in R^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^r\}$の面積を求める。

面積は $\int_{0}^{1} x^r dx = \left[\frac{x^{r+1}}{r+1}\right]_0^{1} = \frac{1}{r+1}$

$\sum_{k=1}^n k^r$ を含む極限値の式で表す必要があるので、今回は、区分求積法を用いる。

$S = \int_0^1 x^r dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^r \frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{r+1}} \sum_{k=1}^n k^r$

3. 最終的な答え

(7) $-\frac{5}{3}$

(8) $0$

(9) $\infty$

(11) $2$

(12) $\infty$

(1) $\frac{1000}{3}$

(2) $1$

(3) $\frac{aN^3}{3}$

$D$の面積: $\frac{1}{r+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{r+1}} \sum_{k=1}^n k^r$