方程式 $2x^3 - 12x^2 + 18x + k = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $2x^3 - 12x^2 + 18x + k = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。

$2x^3 - 12x^2 + 18x = -k$

$f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x$ とおくと、$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ のグラフの交点の数が3つになるような $k$ の範囲を求めることになります。

$f(x)$ を微分して、増減を調べます。

$f'(x) = 6x^2 - 24x + 18 = 6(x^2 - 4x + 3) = 6(x - 1)(x - 3)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$ のときです。

$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$1 < x < 3$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

$x > 3$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

よって、$x = 1$ で極大値、 $x = 3$ で極小値をとります。

極大値 $f(1) = 2(1)^3 - 12(1)^2 + 18(1) = 2 - 12 + 18 = 8$

極小値 $f(3) = 2(3)^3 - 12(3)^2 + 18(3) = 2(27) - 12(9) + 18(3) = 54 - 108 + 54 = 0$

$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ のグラフが異なる3つの交点を持つためには、$-k$ が極小値と極大値の間にある必要があります。

$0 < -k < 8$

$-8 < k < 0$

3. 最終的な答え

$-8 < k < 0$