関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$

$= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \frac{1}{2}\cos\theta)$

$= 2(\sin\theta \cos\frac{\pi}{6} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{6})$

$= 2\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < 2\pi - \frac{\pi}{6}$。つまり、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ の最大値は 1 で、$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ の最小値は -1 で、$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ のとき。

したがって、$\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$。

最大値は $2 \times 1 = 2$ で、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき。

最小値は $2 \times (-1) = -2$ で、$\theta = \frac{5\pi}{3}$ のとき。

3. 最終的な答え

最大値: 2 ($\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき)

最小値: -2 ($\theta = \frac{5\pi}{3}$ のとき)