$f(x) = x^3 - 3x$ とする。曲線 $y=f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とする。ただし、$t \ge 0$ とする。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。 (3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S=12$ であるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 - 3x$ とする。曲線 $y=f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とする。ただし、$t \ge 0$ とする。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S=12$ であるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

よって、$l$ の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 3$ となる。

点 $(t, t^3 - 3t)$ を通り、傾きが $3t^2 - 3$ の直線の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$ である。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求める。

$x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

$x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0$

$(x - t)^2 (x + 2t) = 0$

$x = t, t, -2t$

よって、$x = -2t$ で、$y = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t$ となる。

接点以外の共有点は $(-2t, -8t^3 + 6t)$ である。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S=12$ であるような $t$ の値を求める。

積分範囲は $0 \le x \le t$ である。

$S = \int_0^t ((3t^2 - 3)x - 2t^3 - (x^3 - 3x)) dx = 12$

$S = \int_0^t (-x^3 + 3t^2 x - 2t^3) dx = 12$

$S = \left[ -\frac{1}{4} x^4 + \frac{3}{2} t^2 x^2 - 2t^3 x \right]_0^t = 12$

$S = -\frac{1}{4} t^4 + \frac{3}{2} t^4 - 2t^4 = -\frac{3}{4} t^4 = 12$ となるのはおかしい。

$x \ge 0$ なので、$t \ge 0$ であり、$x$ の範囲は $0$ から $t$ となる。

$l - f(x) = (3t^2 - 3)x - 2t^3 - (x^3 - 3x) = -x^3 + 3t^2 x - 2t^3 = -(x-t)^2(x+2t)$.

$x \in [0, t]$ であれば $x+2t > 0$ なので、$f(x) \le l$

$S = \int_{0}^{t} (l - f(x)) dx = \int_{0}^{t} (-x^3 + 3t^2 x - 2t^3) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3}{2} t^2 x^2 - 2t^3 x \right]_0^t = -\frac{t^4}{4} + \frac{3t^4}{2} - 2t^4 = -\frac{3}{4} t^4$

面積は正なので、$S = \frac{1}{4}(t - (-2t))^4$

$S = \left| \int_{0}^{t} (l - f(x)) dx \right| = \left| \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3}{2} t^2 x^2 - 2t^3 x \right]_{0}^{t} \right| = \left| -\frac{t^4}{4} + \frac{3t^4}{2} - 2t^4 \right| = \frac{3t^4}{4}$.

$\frac{3t^4}{4} = 12$

$t^4 = 16$

$t = \pm 2$

$t \ge 0$ より、$t = 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) $t = 2$