与えられた二次式 $x^2 - 2x - 5$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $x^2 - 2x - 5$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この二次式は通常の因数分解では整数係数の範囲で因数分解できません。そこで、解の公式を用いて解を求め、それを利用して因数分解を行います。

まず、$x^2 - 2x - 5 = 0$ の解を求めます。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

この問題では、$a = 1$, $b = -2$, $c = -5$ なので、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

したがって、解は $x = 1 + \sqrt{6}$ と $x = 1 - \sqrt{6}$ です。

これらの解を $\alpha = 1 + \sqrt{6}$ と $\beta = 1 - \sqrt{6}$ とすると、因数分解された形は $(x - \alpha)(x - \beta)$ となります。

よって、$x^2 - 2x - 5 = (x - (1 + \sqrt{6}))(x - (1 - \sqrt{6}))$ となります。

これを整理すると、

$(x - 1 - \sqrt{6})(x - 1 + \sqrt{6})$

3. 最終的な答え

$(x - 1 - \sqrt{6})(x - 1 + \sqrt{6})$