2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$ \frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta} $ を解に持ち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解に持ち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{8}{2} = -4$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

求める2次方程式の解は $\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ であるから、

$$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2 \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = 2 \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right) = 2 \left( \frac{-4}{\frac{1}{2}} \right) = 2(-8) = -16$$

$$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

したがって、求める2次方程式は $x^2 + ax + b = 0$ とすると、解と係数の関係より

$$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = -a = -16$$

$$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = b = 8$$

よって、$a = 16, b = 8$ であるから、求める2次方程式は

$$x^2 + 16x + 8 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 16x + 8 = 0$