2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$, $\frac{4}{\beta}$ を解とする、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$, $\frac{4}{\beta}$ を解とする、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係を利用して、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

次に、求める2次方程式の解が $\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ であるので、この2つの解の和と積を計算します。

$$\frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} = 4(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = 4(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}) = 4(\frac{2}{\frac{1}{2}}) = 4 \times 4 = 16$$

$$\frac{4}{\alpha} \times \frac{4}{\beta} = \frac{16}{\alpha \beta} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 16 \times 2 = 32$$

求める2次方程式を $x^2 + px + q = 0$ とすると、解と係数の関係より

$$-\left( \frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} \right) = p$$

$$\frac{4}{\alpha} \times \frac{4}{\beta} = q$$

したがって、$p = -16$、$q = 32$ となるので、求める2次方程式は

$$x^2 - 16x + 32 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 - 16x + 32 = 0$