2つの連続する偶数について、大きい偶数の2乗から小さい偶数の2乗を引いた差が4の倍数になることを証明する問題です。空欄（ア）から（カ）に適切な数や式を埋める必要があります。

1. 問題の内容

2つの連続する偶数について、大きい偶数の2乗から小さい偶数の2乗を引いた差が4の倍数になることを証明する問題です。空欄（ア）から（カ）に適切な数や式を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(ア): 2つの連続する偶数は $2n$ と $2n+2$ で表されるので、（ア）には $2n+2$ が入ります。

(イ): $(2n+2)^2 - (2n)^2$ を展開します。

$(2n+2)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 2 + 2^2 = 4n^2 + 8n + 4$

したがって、$(2n+2)^2 - (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4$

問題文より、$(\text{イ})n^2 + (\text{ウ})n + 4 - 4n^2$ とあるので、$4n^2$の係数から $n^2$の係数は４であることがわかります。すると$(4-4)n^2=0$なので $n^2$の項は０です。したがって、（イ）は0になります。

(ウ): 上記の計算より、$n$ の係数は8なので、（ウ）には8が入ります。

(エ): $(2n+2)^2 - (2n)^2 = 8n + 4$ なので、（エ）には $8n + 4$ が入ります。

(オ),(カ): $8n + 4 = 4(2n + 1)$ と因数分解できるので、（オ）には4、（カ）には $2n + 1$ が入ります。

したがって、nが整数なので、（カ）の $2n + 1$ も整数になります。

よって、（オ）の4と（カ）の $2n + 1$ の積 $4(2n+1)$ は4の倍数です。

3. 最終的な答え

(ア): $2n+2$

(イ): $0$

(ウ): $8$

(エ): $8n+4$

(オ): $4$

(カ): $2n+1$