$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 4$ を因数分解します。

$x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2$ なので、和と差の積の公式を使うと、

$x^4 - 4 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$ となります。

(1) 有理数の範囲での因数分解

$x^2 - 2 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{2}$ となり、これは有理数ではありません。

$x^2 + 2 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$ となり、これも有理数ではありません。

したがって、有理数の範囲では $(x^2 - 2)(x^2 + 2)$ より分解できません。

(2) 実数の範囲での因数分解

$x^2 - 2 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{2}$ となり、これらは実数です。

したがって、$x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ と因数分解できます。

$x^2 + 2 = 0$ を解くと、$x = \pm i\sqrt{2}$ となり、これらは実数ではありません。

したがって、$x^2 + 2$ は実数の範囲では因数分解できません。

よって、実数の範囲では $x^4 - 4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2)$ と因数分解できます。

(3) 複素数の範囲での因数分解

$x^2 - 2 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{2}$ となり、これらは複素数です。

$x^2 + 2 = 0$ を解くと、$x = \pm i\sqrt{2}$ となり、これらも複素数です。

したがって、$x^2 + 2 = (x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ と因数分解できます。

よって、複素数の範囲では $x^4 - 4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

有理数：$(x^2 - 2)(x^2 + 2)$

実数：$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2)$

複素数：$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$