$x^4 - 144$ を、係数の範囲をそれぞれ有理数、実数、複素数とした場合に因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 144$ を、係数の範囲をそれぞれ有理数、実数、複素数とした場合に因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 144$ を因数分解します。

$x^4 - 144 = (x^2)^2 - 12^2$ なので、これは二乗の差の形をしています。

$x^4 - 144 = (x^2 - 12)(x^2 + 12)$

次に、$x^2 - 12$ および $x^2 + 12$ をそれぞれ因数分解します。

* **有理数の範囲で因数分解:**

$x^2 - 12$ は有理数の範囲では因数分解できません。

$x^2 + 12$ も有理数の範囲では因数分解できません。

したがって、有理数の範囲では $(x^2 - 12)(x^2 + 12)$ が答えです。

* **実数の範囲で因数分解:**

$x^2 - 12 = (x - \sqrt{12})(x + \sqrt{12}) = (x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})$

$x^2 + 12$ は実数の範囲では $x^2 = -12$ となり、解は $x = \pm \sqrt{-12} = \pm 2\sqrt{3}i$ となるため、実数の範囲では因数分解できません。したがって、$x^2 + 12$ のままにします。

したがって、実数の範囲では $(x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})(x^2 + 12)$ が答えです。

* **複素数の範囲で因数分解:**

$x^2 - 12 = (x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})$ は実数の範囲での因数分解と同じです。

$x^2 + 12 = (x - 2\sqrt{3}i)(x + 2\sqrt{3}i)$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲では $(x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})(x - 2\sqrt{3}i)(x + 2\sqrt{3}i)$ が答えです。

3. 最終的な答え

* 有理数: $(x^2 - 12)(x^2 + 12)$

* 実数: $(x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})(x^2 + 12)$

* 複素数: $(x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3})(x - 2\sqrt{3}i)(x + 2\sqrt{3}i)$