$x^4 - x^2 - 2$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^4 - x^2 - 2$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - x^2 - 2$ を因数分解します。これは $x^2$ に関する2次式と見なせるので、

$x^2 = X$ とおくと、

$X^2 - X - 2$ となります。

これを因数分解すると、

$(X - 2)(X + 1)$

となります。

$X$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 2)(x^2 + 1)$

となります。

- 有理数の範囲：

$(x^2 - 2)$ は有理数の範囲では因数分解できません。なぜなら、$x^2=2$ を満たす $x$ は $\pm\sqrt{2}$ であり、有理数ではないからです。

$(x^2 + 1)$ も有理数の範囲では因数分解できません。なぜなら、$x^2=-1$ を満たす $x$ は $\pm i$ であり、有理数ではないからです。

したがって、有理数の範囲では $(x^2 - 2)(x^2 + 1)$ が答えです。

- 実数の範囲：

$(x^2 - 2)$ は実数の範囲で因数分解できます。なぜなら、$x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ となるからです。

$(x^2 + 1)$ は実数の範囲では因数分解できません。なぜなら、$x^2=-1$ を満たす $x$ は $\pm i$ であり、実数ではないからです。

したがって、実数の範囲では $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 1)$ が答えです。

- 複素数の範囲：

$(x^2 - 2)$ はすでに $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ と因数分解されています。

$(x^2 + 1)$ も複素数の範囲では因数分解できます。なぜなら、$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$ となるからです。

したがって、複素数の範囲では $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i)(x + i)$ が答えです。

3. 最終的な答え

- 有理数: $(x^2 - 2)(x^2 + 1)$

- 実数: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 1)$

- 複素数: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i)(x + i)$