与えられた4次式 $x^4 - 2x^2 - 3$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合にそれぞれ因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 2x^2 - 3$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合にそれぞれ因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $A = x^2$ とおいて考える。すると、与えられた式は $A^2 - 2A - 3$ となる。

これを因数分解すると、

$A^2 - 2A - 3 = (A - 3)(A + 1)$

となる。

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 3)(x^2 + 1)$

となる。

(1) 有理数の範囲での因数分解：

$x^2 - 3$ と $x^2 + 1$ のいずれも、有理数の範囲では因数分解できない。したがって、有理数の範囲での因数分解は

$(x^2 - 3)(x^2 + 1)$

となる。

(2) 実数の範囲での因数分解：

$x^2 - 3$ は $x = \pm\sqrt{3}$ で0になるので、実数の範囲では因数分解できる。

$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

一方、$x^2 + 1$ は $x = \pm i$ で0になるので、実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。したがって、実数の範囲での因数分解は

$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 1)$

となる。

(3) 複素数の範囲での因数分解：

$x^2 + 1$ は $x = \pm i$ で0になるので、複素数の範囲では因数分解できる。

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$

したがって、複素数の範囲での因数分解は

$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - i)(x + i)$

となる。

3. 最終的な答え

有理数: $(x^2 - 3)(x^2 + 1)$

実数: $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 1)$

複素数: $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - i)(x + i)$