$x^4 - x^2 - 2$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^4 - x^2 - 2$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = X$ とおくと、$x^4 - x^2 - 2 = X^2 - X - 2$ となります。

$X^2 - X - 2$ を因数分解すると、

$X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$

となります。$X$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 2)(x^2 + 1)$

となります。

有理数の範囲では、$x^2 - 2$ も $x^2 + 1$ もこれ以上因数分解できません。したがって、有理数の範囲での因数分解は、

$(x^2 - 2)(x^2 + 1)$

となります。

実数の範囲では、$x^2 - 2$ は $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ と因数分解できますが、$x^2+1$ はこれ以上因数分解できません。したがって、実数の範囲での因数分解は、

$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2 + 1)$

となります。

複素数の範囲では、$x^2 + 1$ は $(x-i)(x+i)$ と因数分解できます。したがって、複素数の範囲での因数分解は、

$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-i)(x+i)$

となります。

3. 最終的な答え

* 有理数：$(x^2 - 2)(x^2 + 1)$

* 実数：$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 1)$

* 複素数：$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i)(x + i)$