数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および $a_{n+1} = 3a_n - 2$ という漸化式で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および $a_{n+1} = 3a_n - 2$ という漸化式で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を変形して、等比数列の形に持ち込みます。

$a_{n+1} = 3a_n - 2$

特性方程式 $x = 3x - 2$ を解きます。

$x = 3x - 2$

$2x = 2$

$x = 1$

漸化式を以下のように変形します。

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 3 の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ となります。

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

となります。

$b_n = a_n - 1$ より、$a_n = b_n + 1$ なので、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = 3^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} + 1$