$x^4 - 25$ を、係数が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 25$ を、係数が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 25$ を因数分解します。これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形を利用できます。

$x^4 - 25 = (x^2)^2 - 5^2 = (x^2 + 5)(x^2 - 5)$

次に、それぞれの範囲で因数分解を考えます。

- 有理数の範囲:

$x^2 - 5$ は $x = \pm \sqrt{5}$ を根に持つため、有理数の範囲では因数分解できません。しかし、$x^2 + 5$も有理数の範囲では因数分解できません。したがって、$x^4 - 25$ は $(x^2 + 5)(x^2 - 5)$ が有理数の範囲での因数分解です。

- 実数の範囲:

$x^2 - 5$ は $x = \pm \sqrt{5}$ を根に持つため、$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$ と因数分解できます。$x^2 + 5$ は実数の範囲では因数分解できません。 したがって、$x^4 - 25 = (x^2 + 5)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$ が実数の範囲での因数分解です。

- 複素数の範囲:

$x^2 + 5 = 0$ の解は $x = \pm \sqrt{-5} = \pm i\sqrt{5}$ なので、$x^2 + 5 = (x - i\sqrt{5})(x + i\sqrt{5})$ と因数分解できます。

したがって、$x^4 - 25 = (x - i\sqrt{5})(x + i\sqrt{5})(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$ が複素数の範囲での因数分解です。

3. 最終的な答え

- 有理数の範囲: $(x^2 + 5)(x^2 - 5)$

- 実数の範囲: $(x^2 + 5)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

- 複素数の範囲: $(x - i\sqrt{5})(x + i\sqrt{5})(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$