多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x+2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

代数学多項式剰余の定理代入方程式
2025/6/25

1. 問題の内容

多項式 x3+ax2x12x^3 + ax^2 - x - 12x+2x+2 で割ったときの余りが 2-2 であるとき、aa の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理を用います。
多項式 P(x)P(x)xkx-k で割ったときの余りは P(k)P(k) です。
この問題の場合、P(x)=x3+ax2x12P(x) = x^3 + ax^2 - x - 12x+2x+2 、つまり x(2)x - (-2) で割ったときの余りが 2-2 なので、P(2)=2P(-2) = -2 が成り立ちます。
P(2)P(-2) を計算します。
P(2)=(2)3+a(2)2(2)12P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) - 12
P(2)=8+4a+212P(-2) = -8 + 4a + 2 - 12
P(2)=4a18P(-2) = 4a - 18
P(2)=2P(-2) = -2 より、以下の式が成り立ちます。
4a18=24a - 18 = -2
4a=164a = 16
a=4a = 4

3. 最終的な答え

a=4a = 4

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