多項式 $x^3 + x^2 - 11x + 11$ を $x+4$ で割ったときの余りを求めます。

代数学多項式剰余の定理因数定理
2025/6/25

1. 問題の内容

多項式 x3+x211x+11x^3 + x^2 - 11x + 11x+4x+4 で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を使います。剰余の定理とは、多項式 P(x)P(x)xax-a で割ったときの余りは P(a)P(a) に等しいというものです。
この問題では、P(x)=x3+x211x+11P(x) = x^3 + x^2 - 11x + 11 であり、x+4x+4 で割るということは、x(4)x - (-4) で割るということなので、a=4a = -4 となります。
したがって、求める余りは P(4)P(-4) です。
P(4)=(4)3+(4)211(4)+11P(-4) = (-4)^3 + (-4)^2 - 11(-4) + 11
P(4)=64+16+44+11P(-4) = -64 + 16 + 44 + 11
P(4)=64+16+55P(-4) = -64 + 16 + 55
P(4)=48+55P(-4) = -48 + 55
P(4)=7P(-4) = 7

3. 最終的な答え

7

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