画像にある8つの数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像にある8つの数学の問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $(2x+1)(3x-4)$ の展開

$(2x+1)(3x-4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-4) + 1 \cdot 3x + 1 \cdot (-4)$

$= 6x^2 - 8x + 3x - 4$

$= 6x^2 - 5x - 4$

(2) $(a+b+c)^2$ の展開

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

$= a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $9a^2 - 25b^2$ の因数分解

これは差の平方の形なので、

$9a^2 - 25b^2 = (3a)^2 - (5b)^2 = (3a - 5b)(3a + 5b)$

(4) $4a^2 + 8ab - 21b^2$ の因数分解

$4a^2 + 8ab - 21b^2 = (2a + mb)(2a + nb)$ とおくと、

$mn = -21$ かつ $2n + 2m = 8$ すなわち $n+m = 4$

となる $m, n$ を探す。

$m = -3, n = 7$ とすると、$mn = -21$, $n+m = 4$ を満たす。

よって $4a^2 + 8ab - 21b^2 = (2a - 3b)(2a + 7b)$

(5) $|2-\sqrt{5}| + |3-\sqrt{5}|$ の計算

$\sqrt{5} \approx 2.236$ であるから $2 - \sqrt{5} < 0$ より $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$

$3 - \sqrt{5} > 0$ より $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$

したがって $|2-\sqrt{5}| + |3-\sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$

(6) $\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ の分母の有理化

$\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = \frac{(3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \frac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{9 - 2} = \frac{11 + 6\sqrt{2}}{7}$

(7) 一次不等式 $\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 7$ の解

$\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 7$

両辺に6をかけて

$3(3x-1) > 2(2x) - 42$

$9x - 3 > 4x - 42$

$5x > -39$

$x > -\frac{39}{5}$

(8) 不等式 $|x-4| \ge 5$ の解

$x-4 \ge 5$ または $x-4 \le -5$

$x \ge 9$ または $x \le -1$

3. 最終的な答え

(1) $6x^2 - 5x - 4$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(3a - 5b)(3a + 5b)$

(4) $(2a - 3b)(2a + 7b)$

(5) $1$

(6) $\frac{11 + 6\sqrt{2}}{7}$

(7) $x > -\frac{39}{5}$

(8) $x \ge 9$ または $x \le -1$