(1) $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める。 (2) $x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める。 (3) ある整数 $x$ を4倍して15を加えた数が、1以上30以下であるような $x$ の個数を求める。 (4) ある整数 $x$ を3倍した数と、$x$ から1を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような $x$ の個数を求める。 (5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A = \{x | x \le -1, 8 < x\}$、$B = \{x | |x| > 3\}$ とするとき、集合 $\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数を求める。ここで、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

(1) $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める。

(2) $x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める。

(3) ある整数 $x$ を4倍して15を加えた数が、1以上30以下であるような $x$ の個数を求める。

(4) ある整数 $x$ を3倍した数と、$x$ から1を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような $x$ の個数を求める。

(5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A = \{x | x \le -1, 8 < x\}$、$B = \{x | |x| > 3\}$ とするとき、集合 $\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数を求める。ここで、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

(1)

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{7 - 3}{4} = 1$

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = (\sqrt{7})^2 - 1 = 7 - 1 = 6$

(2)

$x+y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$

$xy = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{10 - 2}{4} = 2$

$x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy = (\sqrt{10})^2 - 3(2) = 10 - 6 = 4$

(3)

$1 \le 4x + 15 \le 30$

$-14 \le 4x \le 15$

$-\frac{14}{4} \le x \le \frac{15}{4}$

$-3.5 \le x \le 3.75$

$x$ は整数なので、取りうる値は $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ の7個。

(4)

$10 \le 3x + 2(x-1) \le 30$

$10 \le 3x + 2x - 2 \le 30$

$10 \le 5x - 2 \le 30$

$12 \le 5x \le 32$

$\frac{12}{5} \le x \le \frac{32}{5}$

$2.4 \le x \le 6.4$

$x$ は整数なので、取りうる値は $3, 4, 5, 6$ の4個。

(5)

$A = \{x | x \le -1, 8 < x\}$

$B = \{x | |x| > 3\} = \{x | x < -3, 3 < x\}$

$A \cup B = \{x | x < -3, x \le -1, 3 < x, 8 < x\} = \{x | x < -3, x \le -1, 3 < x\}$ となる。

$A \cup B = \{x | x < -3\} \cup \{-1 \le x \le 3\} \cup \{x>8 \}$

$A \cup B = (-\infty, -3) \cup (-1, \infty)$

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、

$\overline{A \cup B} = \{x | -3 \le x \le 8, x \in \mathbb{R} \} = [-3, 8]$

$\overline{A \cup B} = \{ x|-3<x \le 3 \}$

$\overline{A \cup B} = \{x | -3 \le x \le -1 \} \cup \{ 3 \le x \le 8\}$

$U$ を実数全体とすると、

$A=\{x \mid x \leq -1, 8<x\}$

$B=\{x \mid x<-3, 3<x\}$

$A \cup B = \{x \mid x<-3, x \leq -1, 3<x, 8<x \}=\{x \mid x \leq -1, 3<x\}$

$\overline{A \cup B} = \{x \mid -1 <x \leq 8\}$

補集合に含まれる整数は $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ の9個。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 4

(3) 7

(4) 4

(5) 9