実数 $a$ と $b$ が与えられており、$a = \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}}$、$b = |a - 2|$ である。 (1) $a$ の分母を有理化し、$b$ の値を求める。 (2) $a+b$ と $ab$ の値を求める。 (3) $a^2+b^2$ の値を求める。 (4) $a^3+b^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ と $b$ が与えられており、$a = \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}}$、$b = |a - 2|$ である。

(1) $a$ の分母を有理化し、$b$ の値を求める。

(2) $a+b$ と $ab$ の値を求める。

(3) $a^2+b^2$ の値を求める。

(4) $a^3+b^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、$4 + 2\sqrt{3}$ を分子と分母に掛ける。

$a = \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}} \times \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{16 - (4 \times 3)} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$b$ の値を求める。

$b = |a - 2| = |1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2| = |\frac{\sqrt{3}}{2} - 1| = | \frac{\sqrt{3} - 2}{2} |$

ここで、$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$\sqrt{3} - 2 < 0$ なので、

$b = - \frac{\sqrt{3} - 2}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $a+b$ と $ab$ の値を求める。

$a + b = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2$

$ab = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

(3) $a^2+b^2$ の値を求める。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (2)^2 - 2(\frac{1}{4}) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

(4) $a^3+b^3$ の値を求める。

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = (2)^3 - 3(\frac{1}{4})(2) = 8 - \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $b = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $a+b = 2$、 $ab = \frac{1}{4}$

(3) $a^2 + b^2 = \frac{7}{2}$

(4) $a^3 + b^3 = \frac{13}{2}$