与えられた2次方程式 $2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 4a + 3 = 0$ (これを方程式①とする) について、以下の問いに答える。 (1) $x = -1$ が方程式①の解であるとき、$a$ の値を求める。 (2) 方程式①の解を $a$ を用いて表す。 (3) 方程式①の解がすべて、不等式 $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たす $x$ の範囲内にあるとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 4a + 3 = 0$ (これを方程式①とする) について、以下の問いに答える。

(1) $x = -1$ が方程式①の解であるとき、$a$ の値を求める。

(2) 方程式①の解を $a$ を用いて表す。

(3) 方程式①の解がすべて、不等式 $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たす $x$ の範囲内にあるとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1$ を方程式①に代入して、$a$ の値を求める。

$2(-1)^2 - (3a+5)(-1) + a^2 + 4a + 3 = 0$

$2 + 3a + 5 + a^2 + 4a + 3 = 0$

$a^2 + 7a + 10 = 0$

$(a+2)(a+5) = 0$

$a = -2, -5$

(2) 方程式①を解く。$2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 4a + 3 = 0$

まず、定数項を因数分解する。

$a^2+4a+3=(a+1)(a+3)$

たすき掛けを用いて因数分解すると

$2x^2 - (3a+5)x + (a+1)(a+3) = 0$

$(2x - (a+1))(x - (a+3)) = 0$

したがって、 $x = \frac{a+1}{2}, a+3$

(3) 方程式①の解がすべて、不等式 $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たすとき、$a$ の値の範囲を求める。

方程式①の解は $x = \frac{a+1}{2}, a+3$ である。

不等式 $3a - 5 < 2x < 3a + 5$ を満たすので、

$3a - 5 < 2(\frac{a+1}{2}) < 3a + 5$ かつ $3a - 5 < 2(a+3) < 3a + 5$ が成り立つ必要がある。

まず、$3a - 5 < a + 1 < 3a + 5$ より、

$3a - 5 < a + 1$ かつ $a + 1 < 3a + 5$

$2a < 6$ かつ $-4 < 2a$

$a < 3$ かつ $-2 < a$

したがって、$-2 < a < 3$

次に、$3a - 5 < 2(a+3) < 3a + 5$ より、

$3a - 5 < 2a + 6$ かつ $2a + 6 < 3a + 5$

$a < 11$ かつ $1 < a$

したがって、$1 < a < 11$

$x = \frac{a+1}{2}$ と $x = a+3$ の大小関係を調べる。

$a+3 - \frac{a+1}{2} = \frac{2a+6-a-1}{2} = \frac{a+5}{2}$

(i) $\frac{a+5}{2} > 0$ つまり $a > -5$ のとき、$\frac{a+1}{2} < a+3$ である。

このとき、$3a-5 < a+1 < 2a+6 < 3a+5$ となる場合を考える。

$3a - 5 < a+1$ より $a < 3$

$2a+6 < 3a+5$ より $1 < a$

よって、$1 < a < 3$

(ii) $\frac{a+5}{2} < 0$ つまり $a < -5$ のとき、$a+3 < \frac{a+1}{2}$ である。

このとき、$3a-5 < 2a+6 < a+1 < 3a+5$ となる場合を考える。

$3a-5 < 2a+6$ より $a < 11$

$a+1 < 3a+5$ より $-2 < a$

これは $a < -5$ と矛盾するので不適。

$a=-2, -5$ は $1 < a < 3$ を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, -5$

(2) $x = \frac{a+1}{2}, a+3$

(3) $1 < a < 3$