$2^x = t$ が与えられたとき、以下の式を$t$を用いて表せ。 (1) $2^{3-x}$ (2) $4^x$ (3) $(\sqrt{2})^x$

1. 問題の内容

$2^x = t$ が与えられたとき、以下の式を$t$を用いて表せ。

(1) $2^{3-x}$

(2) $4^x$

(3) $(\sqrt{2})^x$

2. 解き方の手順

(1) $2^{3-x}$について：

$2^{3-x}$ を $2^3$ と $2^{-x}$ に分解します。

$2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = 8 \cdot 2^{-x}$

$2^{-x}$ は $2^x$ の逆数なので、$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$

$2^x = t$ であるので、$2^{-x} = \frac{1}{t}$

したがって、$2^{3-x} = 8 \cdot \frac{1}{t} = \frac{8}{t}$

(2) $4^x$について：

$4^x$ を $(2^2)^x$ と書き換えます。

$(2^2)^x = 2^{2x}$

$2^{2x}$ を $(2^x)^2$ と書き換えます。

$(2^x)^2 = t^2$

したがって、$4^x = t^2$

(3) $(\sqrt{2})^x$について：

$\sqrt{2}$ は $2^{\frac{1}{2}}$ と書き換えることができます。

$(\sqrt{2})^x = (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{x}{2}}$

$2^{\frac{x}{2}}$ は $(2^x)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えることができます。

$(2^x)^{\frac{1}{2}} = t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$

したがって、$(\sqrt{2})^x = \sqrt{t}$

3. 最終的な答え

(1) $2^{3-x} = \frac{8}{t}$

(2) $4^x = t^2$

(3) $(\sqrt{2})^x = \sqrt{t}$