与えられた2つの方程式を解きます。 (1) $2 \log_4(x-3) = 1$ (2) $\log_2(x+9) - \log_2(x) = 2$

1. 問題の内容

与えられた2つの方程式を解きます。

(1) $2 \log_4(x-3) = 1$

(2) $\log_2(x+9) - \log_2(x) = 2$

2. 解き方の手順

(1) $2 \log_4(x-3) = 1$

まず、係数を払います。

$\log_4(x-3) = \frac{1}{2}$

次に、対数の定義を使って、指数形式に変換します。

$x-3 = 4^{\frac{1}{2}}$

$x-3 = \sqrt{4}$

$x-3 = 2$

$x = 5$

真数条件: $x-3 > 0$ より、$x > 3$。

$x=5$ はこの条件を満たすため、解として適切です。

(2) $\log_2(x+9) - \log_2(x) = 2$

対数の性質を使って、左辺をまとめます。

$\log_2\left(\frac{x+9}{x}\right) = 2$

次に、対数の定義を使って、指数形式に変換します。

$\frac{x+9}{x} = 2^2$

$\frac{x+9}{x} = 4$

両辺に $x$ をかけます。

$x+9 = 4x$

$3x = 9$

$x = 3$

真数条件: $x+9 > 0$ かつ $x > 0$ より、$x > 0$。

$x=3$ はこの条件を満たすため、解として適切です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5$

(2) $x = 3$