(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を計算する。 (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を計算する。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を利用して式を整理する。

$\log(x-2) - \log x = \log(\frac{x-2}{x}) = \log(1 - \frac{2}{x})$

よって、求める極限は

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = -\frac{x}{2}$ と置くと、$x = -2t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to -\infty$ である。

すると、

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x}) = \lim_{t \to -\infty} (-2t) \log(1 + \frac{1}{t}) = -2 \lim_{t \to -\infty} t \log(1 + \frac{1}{t})$

ここで、$u = \frac{1}{t}$ と置くと、$t = \frac{1}{u}$ であり、$t \to -\infty$ のとき $u \to 0$ である。

すると、

$-2 \lim_{t \to -\infty} t \log(1 + \frac{1}{t}) = -2 \lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u}$

$\lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ であるから、

$-2 \lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

$x \to 0$ のとき、$e^{2x} - 1 \sim 2x$ であり、$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ である。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} 4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4