与えられた2つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} x (\log(x-2) - \log x)$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} x (\log(x-2) - \log x)$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to \infty} x (\log(x-2) - \log x)$を計算します。

対数の性質より $\log(x-2) - \log x = \log\left(\frac{x-2}{x}\right) = \log\left(1-\frac{2}{x}\right)$。

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to \infty} x \log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$です。

ここで、$t = -\frac{x}{2}$とおくと、$x = -2t$であり、$x \to \infty$のとき、$t \to -\infty$です。

$\lim_{t \to -\infty} -2t \log\left(1 + \frac{1}{t}\right) = -2 \lim_{t \to -\infty} \frac{\log\left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}}$となります。

$\frac{1}{t} = u$とおくと、$t \to -\infty$のとき、$u \to 0$です。

したがって、$-2 \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u}$となります。

$\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$なので、求める極限は$-2 \times 1 = -2$となります。

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$を計算します。

$e^{2x} - 1 \approx 2x$ ($x \to 0$のとき)、かつ $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ ($x \to 0$のとき)であることから、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{x^2/2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2/2} = \lim_{x \to 0} 4 = 4$となります。

厳密に解く場合は、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{xe^{2x} - x}{1 - \cos x}$

分子を微分すると、$e^{2x} + 2xe^{2x} - 1$

分母を微分すると、$\sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + 2xe^{2x} - 1}{\sin x}$

分子を微分すると、$2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x} = 4e^{2x} + 4xe^{2x}$

分母を微分すると、$\cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4}{1} = 4$となります。

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4