与えられた二つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x\}$

対数の性質を利用して式を整理します。

$\log(x-2) - \log x = \log \frac{x-2}{x} = \log (1 - \frac{2}{x})$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \log (1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = -\frac{2}{x}$ と置くと、$x = -\frac{2}{t}$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} (-\frac{2}{t}) \log (1 + t) = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + t)}{t} = 1$ であるから、

$-2 \lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + t)}{t} = -2 \cdot 1 = -2$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1 - \cos x}$

$e^{2x}-1$ をテイラー展開で近似します。$e^{2x} \approx 1 + 2x + O(x^2)$ より、$e^{2x}-1 \approx 2x$

$1 - \cos x$ をテイラー展開で近似します。$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ より、$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} 4 = 4$

または、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1 - \cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4