3次関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 7$ について、以下の問題を解く。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きと方程式を求める。 (2) 接線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの共有点のうち、点 $A$ 以外の点 $B$ の座標と、点 $B$ における法線 $m$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 7$ について、以下の問題を解く。

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きと方程式を求める。

(2) 接線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの共有点のうち、点 $A$ 以外の点 $B$ の座標と、点 $B$ における法線 $m$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 8x$

$A$ の $x$ 座標は $1$ なので、$f'(1)$ を計算する。

$f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = 3 - 8 = -5$

これが接線 $l$ の傾きになる。

$f(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$

よって点 $A$ の座標は $(1, 4)$ である。

接線 $l$ の方程式は、傾き $-5$ で点 $(1, 4)$ を通るので、

$y - 4 = -5(x - 1)$

$y = -5x + 5 + 4$

$y = -5x + 9$

(2)

接線 $l$ と $y = f(x)$ の共有点を求める。

$x^3 - 4x^2 + 7 = -5x + 9$

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

これは $x = 1$ を重解に持つので、$(x - 1)^2$ で割り切れる。

$(x - 1)^2(x - 2) = 0$

よって、$x = 1$ (点 $A$) または $x = 2$

点 $B$ の $x$ 座標は $2$ である。

$f(2) = 2^3 - 4(2)^2 + 7 = 8 - 16 + 7 = -1$

点 $B$ の座標は $(2, -1)$

点 $B$ における接線の傾きは $f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4$

法線 $m$ の傾きは、接線の傾きの逆数に $-1$ をかけたものなので、$\frac{1}{4}$

法線 $m$ の方程式は、傾き $\frac{1}{4}$ で点 $(2, -1)$ を通るので、

$y - (-1) = \frac{1}{4}(x - 2)$

$y + 1 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} - 1$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$f'(x) = 3x^2 - 8x$

接線 $l$ の傾きは $-5$

接線 $l$ の方程式は $y = -5x + 9$

(2)

点 $B$ の座標は $(2, -1)$

法線 $m$ の方程式は $y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2}$

ア:3

イ:8

ウ:-5

エ:-5

オ:-5

カ:9

ク:2

ケ:-1

コ:-1

サ:1

シ:4

ス:3

セ:2