定積分で定義された関数の微分を計算し、与えられた式と比較して係数を決定する問題です。具体的には、$\frac{d}{dx} \left( \int_x^{2x} \cos^2 t \, dt \right) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$ という式において、(ア)と(イ)に当てはまる数値を求める必要があります。

1. 問題の内容

定積分で定義された関数の微分を計算し、与えられた式と比較して係数を決定する問題です。具体的には、$\frac{d}{dx} \left( \int_x^{2x} \cos^2 t \, dt \right) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$ という式において、(ア)と(イ)に当てはまる数値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、微積分学の基本定理と合成関数の微分法を用いて、定積分で定義された関数の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} \left( \int_x^{2x} \cos^2 t \, dt \right) = \frac{d}{dx} \left( \int_0^{2x} \cos^2 t \, dt - \int_0^x \cos^2 t \, dt \right)$

$= \frac{d}{dx} \left( \int_0^{2x} \cos^2 t \, dt \right) - \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \cos^2 t \, dt \right)$

$= \cos^2 (2x) \cdot \frac{d}{dx} (2x) - \cos^2 (x) \cdot \frac{d}{dx} (x)$

$= 2 \cos^2 (2x) - \cos^2 (x)$

次に、計算結果と与えられた式を比較します。

$2 \cos^2 (2x) - \cos^2 (x) = (\text{ア}) \cos^2 2x + (\text{イ}) \cos^2 x$

したがって、(ア) = 2, (イ) = -1 となります。

3. 最終的な答え

(ア) = 2

(イ) = -1