与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数は全て連続であると仮定されています。選択肢は積分可能性、大小関係と積分の関係、積分が0となる条件、リーマン和と定積分、積分の区間分割に関するものです。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数は全て連続であると仮定されています。選択肢は積分可能性、大小関係と積分の関係、積分が0となる条件、リーマン和と定積分、積分の区間分割に関するものです。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

(1) $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ において常に積分可能である。

関数が連続ならば積分可能です。問題文で関数はすべて連続とあるので、これは正しいです。

(2) 閉区間 $[a, b]$ 上で $f(x) \leq g(x)$ ならば、$\int_{a}^{b} |f(x)| dx \leq \int_{a}^{b} |g(x)| dx$ が成り立つ。

$f(x) \le g(x)$ から $|f(x)| \le |g(x)|$ は導けません。反例として、$f(x) = -2, g(x) = 1$ を考えると、$f(x) \le g(x)$ ですが、$|f(x)| = 2, |g(x)| = 1$ より $|f(x)| \gt |g(x)|$ となります。

したがって、この命題は誤りです。

(3) 閉区間 $[a, b]$ 上で $\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$ ならば、$[a, b]$ 上で $f(x) = 0$ である。

これは誤りです。例えば、$f(x) = x$ を $[-1, 1]$ で積分すると $\int_{-1}^{1} x dx = 0$ ですが、$x = 0$ ではありません。

(4) 閉区間 $[a, b]$ 上で $\int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2} dx = 0$ ならば、$[a, b]$ 上で $f(x) = 0$ である。

$f(x)$ は連続関数であり、$f(x)^2$ は常に非負なので、$\int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2} dx = 0$ ならば、$[a, b]$ 上で $f(x)^2 = 0$、つまり $f(x) = 0$ です。これは正しいです。

(5) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{3} = \int_{0}^{1} x^{3} dx$ が成り立つ。

これはリーマン和の定義から正しいです。$\Delta x = \frac{1}{n}, x_k = \frac{k}{n}$ とすれば、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx$

において、$f(x) = x^3, a = 0, b = 1$ とすれば、与えられた式になります。

(6) $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx$ が成り立つ。

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$ なので、

$\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx$ が成り立ちます。これは正しいです。

3. 最終的な答え

(1),(4),(5),(6)