与えられた二重積分を計算し、最終的な結果が定数Cになることを示す問題です。積分は $x$ について $1$ から $4$ まで、そして $y$ について $0$ から $2$ まで行われます。被積分関数は $6xy^{1/2} + 4xy^{3/2}$ です。 $\int_{0}^{2} \int_{1}^{4} (6xy^{\frac{1}{2}} + 4xy^{\frac{3}{2}}) dx dy = C$

1. 問題の内容

与えられた二重積分を計算し、最終的な結果が定数Cになることを示す問題です。積分は $x$ について $1$ から $4$ まで、そして $y$ について $0$ から $2$ まで行われます。被積分関数は $6xy^{1/2} + 4xy^{3/2}$ です。

$\int_{0}^{2} \int_{1}^{4} (6xy^{\frac{1}{2}} + 4xy^{\frac{3}{2}}) dx dy = C$

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての積分を実行します。

$\int_{1}^{4} (6xy^{\frac{1}{2}} + 4xy^{\frac{3}{2}}) dx = [3x^2y^{\frac{1}{2}} + 2x^2y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

$= (3 \cdot 16 \cdot y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 16 \cdot y^{\frac{3}{2}}) - (3 \cdot 1 \cdot y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 \cdot y^{\frac{3}{2}})$

$= (48y^{\frac{1}{2}} + 32y^{\frac{3}{2}}) - (3y^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{3}{2}})$

$= 45y^{\frac{1}{2}} + 30y^{\frac{3}{2}}$

次に、$y$ についての積分を実行します。

$\int_{0}^{2} (45y^{\frac{1}{2}} + 30y^{\frac{3}{2}}) dy = [45 \cdot \frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} + 30 \cdot \frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2}$

$= [30y^{\frac{3}{2}} + 12y^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2}$

$= (30 \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 12 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - (0)$

$= 30 \cdot 2\sqrt{2} + 12 \cdot 4\sqrt{2}$

$= 60\sqrt{2} + 48\sqrt{2}$

$= 108\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$108\sqrt{2} = C$