与えられた二つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

$\log(x-2) - \log x = \log(\frac{x-2}{x}) = \log(1-\frac{2}{x})$

したがって、求める極限は

$\lim_{x\to\infty} x \log(1-\frac{2}{x})$

$t = -\frac{2}{x}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、$x = -\frac{2}{t}$ となります。

よって、

$\lim_{x\to\infty} x \log(1-\frac{2}{x}) = \lim_{t\to 0} (-\frac{2}{t}) \log(1+t) = -2 \lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

$\lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ であるから、

$\lim_{x\to\infty} x \log(1-\frac{2}{x}) = -2 \cdot 1 = -2$

(2)

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

ロピタルの定理を用いるか、もしくは、$x \to 0$ における近似式を用います。

$e^{2x} \approx 1 + 2x$

$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(1+2x-1)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} 4 = 4$

ロピタルの定理を使う場合：

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1+2xe^{2x}}{\sin x}$

これはまだ $\frac{0}{0}$ の形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4e^0 + 0}{\cos 0} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4