次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\} = \lim_{x \to \infty} x\log(\frac{x-2}{x})$

$= \lim_{x \to \infty} x\log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} x\log(1 - \frac{2}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 - 2t)}{t}$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 - 2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{(-2t)^2}{2} + \frac{(-2t)^3}{3} - \dots}{t}$

$= \lim_{t \to 0} (-2 - 2t - \frac{8t^2}{3} - \dots)$

$= -2$

あるいは、ロピタルの定理より

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 - 2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{-2}{1 - 2t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-2}{1 - 2t} = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

$e^{2x}$ のマクローリン展開は $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ なので、

$e^{2x} - 1 = 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$

また、$1 - \cos x = 1 - (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \dots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} + \dots)}{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 2x^3 + \frac{4x^4}{3} + \dots}{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2 + 2x + \frac{4x^2}{3} + \dots}{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \dots}$

$= \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

あるいは、ロピタルの定理を繰り返し用いて

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4