(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\tan \theta$ を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ を求める。 (3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のとき、$AB$ を求める。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のとき、$\angle C$ を求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\tan \theta$ を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ を求める。

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のとき、$AB$ を求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のとき、$\angle C$ を求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin \theta > 0$ であるから、$\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

(2)

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、

$(-4)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$17 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4 < 0$ であるから、$90^\circ < \theta < 180^\circ$

$\cos \theta < 0$ であるから、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3)

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$AB = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{2} \cdot 2 = 2$

(4)

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$(\sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + CA^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot CA \cdot \cos 120^\circ$

$6 = 2 + CA^2 - 2 \sqrt{2} \cdot CA \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$CA^2 + \sqrt{2} CA - 4 = 0$

$CA = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4(-4)}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$

$CA > 0$ より、$CA = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 120^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

$C = 30^\circ$

(5)

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$7^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos A$

$49 = 36 + 25 - 60 \cos A$

$60 \cos A = 36 + 25 - 49 = 12$

$\cos A = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 6 \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = -\frac{4}{3}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) $AB = 2$

(4) $\angle C = 30^\circ$

(5) $\cos A = \frac{1}{5}$ 、$\triangle ABC = 6 \sqrt{6}$