長方形ABCDを点Bを中心に反時計回りに回転させて長方形EBFGを作ります。点Fは辺AD上にあり、GHは辺ADと垂直に交わり、AIは辺BFと垂直に交わります。このとき、三角形ABIと三角形GFHが合同であることを証明する必要があります。

1. 問題の内容

長方形ABCDを点Bを中心に反時計回りに回転させて長方形EBFGを作ります。点Fは辺AD上にあり、GHは辺ADと垂直に交わり、AIは辺BFと垂直に交わります。このとき、三角形ABIと三角形GFHが合同であることを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、長方形ABCDと長方形EBFGが合同であることから、対応する辺の長さが等しく、対応する角の大きさが等しいことを利用します。特に、AB=GB、BC=BF、CD=FG、DA=GEであり、全ての角は直角です。

次に、AIとBFが垂直に交わっていることと、GHとADが垂直に交わっていることを利用します。

証明：

1. 長方形ABCDと長方形EBFGは合同なので、$AB = GB$ かつ $BF = BC$

2. $\angle ABI + \angle FBI = 90^\circ$

3. $\angle GBF + \angle FBI = 90^\circ$

したがって $\angle ABI = \angle GBF$

ここで、$GF = AB$ である。また、$GH \perp AD$, $AI \perp BF$。

直角三角形ABIにおいて、$\angle AIB = 90^\circ$。

直角三角形GFHにおいて、$\angle GH = 90^\circ$。

$\angle ABI + \angle BAI = 90^\circ$

$\angle GBF + \angle ABI + \angle ABH = 90^\circ$

$\triangle ABI$と$\triangle GFH$について、

仮定より、$\angle AIB = \angle FHG = 90^\circ$　… (1)

長方形の性質より、$AB = GF$　… (2)

また、$AI \perp BF$より、$\angle AIB = 90^\circ$

$GH \perp AD$より、$\angle FHG = 90^\circ$

$\angle ABI + \angle BAI = 90^\circ$

$\angle ABI = 90^\circ - \angle BAI$　… (3)

$\triangle ABI$と$\triangle GFH$において、

$\angle ABI = \angle GBF$

$\angle G = 90^\circ$ なので$\angle GBF = \angle FHG$

$\angle BAI = \angle GFH$　… (4)

(1), (2), (4)より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、$\triangle ABI \equiv \triangle GFH$

3. 最終的な答え

$\triangle ABI \equiv \triangle GFH$